Родился 2 февраля 1916 года в селе Стрельниково (ныне Атюрьевского района) в Мордовии. Призван на службу в РККА с 1937 года. Прошёл подготовку на Пятигорских курсах младших политруков.
С июня 1941 года на фронтах Великой Отечественной войны. В 1943 году окончил курсы командиров танковых рот.
20 апреля 1945 года танковая рота под командованием гвардии старшего лейтенанта Акиняева прорвав оборону немцев у г. Мюнхеберг (Германия), нанеся врагу большой урон, выбила противника с занимаемых позиций. 22 апреля 1945 г., зайдя противнику во фланг и атаковав его, способствовала форсированию реки Шпрее нашим частями. В ходе боя Акиняев был ранен, но не покинул поля боя.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 мая 1945 года Акиняеву Егору Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С 1947 года капитан Акиняев — в запасе. До 1959 года работал председателем Атюрьевского райпотребсоюза. Умер 2 июня 1959 года, похоронен в селе Атюрьево — административном центре Атюрьевского района.