Е. И. Пашков родился в семье стольника Ивана Еремеевича «большого» Пашкова.
Служил денщиком при Петре I. Примерно в 1709 году ему был присвоен чин капитана гвардии.
В 1717 году принимал участие в следствии по делу о расхищении казны, заведённому в отношении сибирского губернатора князя Гагарина по обвинению известного фискала А. Я. Нестерова.
18 января 1722 года Пашков был назначен прокурором Военной коллегии. В этой должности он, в частности, вёл дознание по делу о взяточничестве уже самого А. Я. Нестерова. В 1723 году стал членом «Вышнего суда».
Е. И. Пашков входил в бестужевский кружок сторонников возведения на престол Петра II. После восшествия Петра II на престол, в 1727 году был назначен членом Военной Коллегии с пожалованием чина бригадира.
С 1728 года по 1 декабря 1734 года занимал должность вице-губернатора Воронежа.
В 1739 году был назначен губернатором Астрахани.
Умер в 1740 году.