Геннадий Елисеев родился 26 декабря 1937 года в Сталинграде в семье рабочего. Русский.
В 1959 году окончил Батайское военное авиационное училище лётчиков.
28 ноября 1973 года капитан Елисеев на истребителе МиГ-21СМ вылетел с аэродрома Вазиани на перехват самолёта-нарушителя, вторгшегося в советское воздушное пространство в районе Муганской долины (Азербайджан). Это оказался иранский F-4 «Фантом» II (в некоторых источниках ошибочно упоминается T-33 или даже ЕС-130Е).
Воздушный бой происходил над территорией Грузинской ССР. Получив приказ на уничтожение нарушителя, Елисеев выпустил по нему две ракеты Р-3, после чего таранил, нанеся удар крылом по хвостовому оперению. Это был первый в истории советской авиации воздушный таран нарушителя границы на реактивном самолете.
Экипаж «Фантома» (иранский майор Shokouhnia, впоследствии погибший в ирано-иракской войне, и американский полковник Джон Сондерс) катапультировался, был задержан пограничниками и освобождён через 16 дней. МиГ Елисеева после тарана врезался в гору, пилот погиб.
Не ясна причина, по которой Елисеев не использовал установленную на его самолёте авиапушку. Возможно он забыл о ней, поскольку его самолёт был единственным в полку оборудованным пушкой; возможно произошёл отказ пушечного вооружения.
Елисеев был похоронен в Волгограде на кладбище на Дар-горе (Ворошиловский район).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 декабря 1973 года «за проявленные мужество и героизм» капитану Елисееву Геннадию Николаевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза (с орденом Ленина и медалью «Золотая Звезда» № ????).
Член КПСС с 1961 года.
1937-1973. Елисеев Геннадий Николаевич, Герой Советского Союза