Изучала искусствоведение на факультете искусств Университета-колледжа искусств, ремёсел и дизайна (тогда носившего название «Техническая школа», Tekniska skolan) в Стокгольме. Вышла замуж за Натанаэля Бескова в 1893, в браке имела 6 детей, среди которых был художник Бу Бесков.
На стиль произведений Э. Бесков значительное влияние оказали Сакариас Топелиус и Ганс Христиан Андерсен. Книги, как написанные, так и иллюстрированные Эльзой Бесков, чрезвычайно популярны в Швеции, постоянно переиздаются. Один из залов в стокгольмском музее Юнибаккен посвящён произведениям Э. Бесков.