Окончив музыкальное училище в Одессе по классам скрипки и композиции, начал заниматься дирижированием, сначала самостоятельно, а затем брал уроки у Артура Никиша. Впервые встал за дирижёрский пульт в 1896, работал в Киевской опере (1900—1904), частной опере Зимина в Москве, где под его управлением в 1909 впервые прозвучала опера Римского-Корсакова «Золотой петушок», наконец, в Русской имперской опере. Выступая не только как оперный, но и как симфонический дирижёр, Купер дал ряд премьер сочинений Метнера, Мясковского, Рахманинова, Скрябина, Глиэра (симфония «Илья Муромец», 1912) и других современных ему композиторов. Талант музыканта заметил Сергей Дягилев, который пригласил его дирижировать в «Русских сезонах». Так, под управлением Купера состоялось знаменитое представление оперы Мусоргского «Борис Годунов» с Фёдором Шаляпиным в главной роли.
После революции Александр Глазунов пригласил Купера дирижировать в Петроградском Государственном театре оперы и балета и в оркестр Петроградской филармонии. Проработав в Петрограде некоторое время, Купер в 1922 принял решение уехать из СССР, обосновавшись в Париже. В это время он много гастролирует, несколько лет спустя становится художественным руководителем Рижской оперы, а ещё через три года получает место дирижёра в Чикаго. Вернувшись в Европу в 1932, музыкант продолжает концертировать до 1939, когда вновь уезжает в США. После войны Купер становится одним из дирижёров театра Метрополитен-опера в Нью-Йорке, где руководит американской премьерой оперы Бриттена «Питер Граймс» и новой редакцией «Хованщины» Мусоргского. С 1950 дирижёр работал в Монреале, расширив репертуар, исполнил до того неизвестные в Канаде оперы Прокофьева и Менотти.
Сохранился ряд записей Купера — опера Понкьелли «Джоконда», Гуно «Ромео и Джульетта» и несколько других.