Богут — сын хорватских иммигрантов, осевших в Мельбурне. Учился в Австралийском институте спорта, в последнем сезоне в играх за местную баскетбольную команду в среднем набирал 29 очков и делал 14,5 подборов.
В 2003 году переехал в США и продолжил спортивную карьеру в Университете Юты, где в дебютном сезоне набирал в среднем 12,5 очков и делал 9,9 подборов, по итогам первого сезона был признан лучшим новичком в Горной Западной конференции. В своём втором сезоне за Университет Юты Богут значительно улучшил свои показатели, в среднем набирая 20,4 очков, делая 12,2 подборов, 2,3 передачи и 1,8 блокшот. По окончании сезона он был признан лучшим баскетболистом Национальной ассоциацией студенческого спорта по версии Associated Press и ESPN, а также получил призы имени Джеймса Нейсмита, Джона Вудена и Оскара Робертсона.
В 2005 году Богут был выбран на драфте НБА под первым номером командой «Милуоки Бакс». В дебютном сезоне за «Бакс» он стал основным центровым команды, в среднем набирал 9,4 очков, делал 7 подборов, был включён в первую сборную новичков и занял третье место в опросе на звание новичка года. В следующем сезоне Богут потянул мышцу на левой ноге, из-за чего пропустил последние 15 игр чемпионата и не смог помочь команде выйти в плей-офф, хотя в целом улучшил свою статистику. В третьем сезоне австралиец провёл 78 игр, в которых в среднем набирал 14,3 очков и делал 9,8 подборов. Большую часть своего четвёртого сезона в НБА Богут пропустил из-за травмы спины.
В 2003 году помог юниорской сборной Австралии выиграть чемпионат мира в своей возрастной категории и был признан самым ценным игроком сезона.
На Олимпийских играх 2004 года в Афинах выступал за сборную Австралии, играя на позиции тяжёлого форварда. На Играх Богут в среднем набирал 14,8 очков и делал 8,8 подборов. Выступал на чемпионате мира 2006 года в Японии, был лучшим игроком по очкам и подборам в сборной Австралии, занявшей 13-е место. Летом 2008 года Богут вновь принимал участие в Олимпийских играх, на этот раз команда вышла из группы и уступила в четвертьфинале будущим чемпионам, американцам.