Родился в Бостоне, США. После окончания школы поступил в Калифорнийский институт искусств, в котором четыре года изучал анимацию. После окончания университета получил степень бакалавра в области киноискусства. Ещё во время обучения в университете, в 1987 году, он создал два короткометражных мультфильма — «Где-то в Арктике» и «История».
Профессиональная карьера Эндрю стартует на студии «Kroyer Films». Во время работы на этой студии, в 1987 году, он написал один из своих первых сценариев для фильма «Майти Маус — новые приключения» Ральфа Бакши.
В 1990 году Эндрю Стэнтон перешёл на новое место работы — в компанию «Pixar», где работал в качестве постановщика и художника-аниматора. Первоначально, он принимал участие в создании нескольких рекламных роликов, а спустя некоторое время стал одним из сценаристов полнометражного мультфильма «История игрушек». Мультфильм стал коммерческим суперхитом 1995 года, собрав в прокате более 300 миллионов долларов. За работу над этим мультфильмом Стэнтон и ещё четверо сценаристов были выдвинуты на премию «Оскар». В дальнейшем, написал ещё несколько сценариев, принимал участие в создании мультфильмов «Жизнь жуков (Приключения Флика)» (1998 год) и «Корпорация монстров» (2001 год) в качестве сценариста и режиссёра.
В 2003 году Эндрю Стэнтон создал образ и голос черепахи Краш и выступил в качестве режиссёра-постановщика (совместно с Ли Ульрихом) новой анимационной картины студии «Pixar» — «В поисках Немо». Этот мультфильм собирал более 850 миллионов долларов в мировом прокате.
Его последняя режиссёрская работа — мультфильм «ВАЛЛ-И» — вышел на экраны в США в 2008 году и в течение нескольких недель удерживал первое место в рейтинге лучших картин за всю историю кинематографа (по версии посетителей сайта IMDB).
Картина «Джон Картер», в создании которой он выступил режиссёром и автором сценария, вышла на экраны в 2012 году.