Бальестерос был основным вратарём уругвайской сборной, ставшей в 1930 году первым чемпионом мира. Он провёл все матчи, включая финальный против сборной Аргентины. До начала первенства первый номер отдавался Андресу Масали, но волевым решением тренерского штаба Масали был отчислен за недисциплинированное поведение из состава сборной незадолго до начала чемпионата, что дало шанс Бальестеросу. Также Энрике был основным вратарём на победном для сборной чемпионате Южной Америки 1935 года.
Большую часть своей клубной карьеры Бальестерос провёл за столичный «Рампла Хуниорс», с которым выиграл единственный для клуба по сей день чемпионский титул. Последние 3 сезона в карьере выступал в составе «Пеньяроля» и все три раза помогал своей команде выиграть чемпионат страны.