Энрике Креспо родился в столице Уругвая Монтевидео в 1941 году. Он изучал музыку и архитектуру в Буэнос-Айресе. Там он начал играть в симфоническом оркестре и джазовом ансамбле. Получив в 1967 году грант на обучение в Германии, Креспо продолжил заниматься на тромбоне и изучать композицию в Берлине. Закончив обучение в 1969, Креспо стал солистом Бамбергского симфонического оркестра. С 1980 он работал в симфоническом оркестре Штутгартского радио также на месте солиста-тромбониста.
В 1974 Креспо совместно с трубачами Корадином Гротом и Мартином Кретцером, валторнистом Вольфгангом Гаагом и тубистом Дитером Сихевицем организовал брасс-квинтет «Deutsche Blechbl?serquintett». В 1985 году этот ансамбль был расширен до десяти музыкантов и получил название «German Brass». В составе этого ансамбля Креспо осуществил запись более двадцати компакт-дисков и регулярно гастролирует по всему миру. Он является автором большинства аранжировок «German Brass» а также ряда оригинальных сочинений.