Энрико Бомбиери окончил Миланский университет, где его руководителем был Джованни Риччи, и поступил в Кембриджский Тринити-колледж, где под руководством Гарольда Давенпорта получил степень Ph.D.. После этого он преподавал в Университете Кальяри и Университете Пизы, а затем эмигрировал в США, где стал работать в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси.
С 1980 года — член Французской академии наук, с 1996 года — член Национальной академии наук США.
Энрико Бомбиери знаменит своими работами в области теории чисел, алгебраической геометрии и математического анализа. Одним из основных результатов аналитической теории чисел является доказанная в 1960-х теорема Бомбиери — Виноградова, обобщающая теорему Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.