Родился в Смоленске. Окончил гимназию. В декабре 1917 вступил в ряды Красной Гвардии. Участник Гражданской войны. В Советской Армии в 1919—1922 и с 1923. Член КПСС с 1927. Служил в пограничных войсках и в их составе в 1932—1933 участвовал в ликвидации басмачества, в 1939—1940 — в советско-финской войне. В 1941 окончил высшую пограничную школу НКВД. На фронтах Великой Отечественной войны с июля 1941. Командир 362-й стрелковой дивизии (33-я армия, 1-й Белорусский фронт). Участник Висло-Одерской, Берлинской и других военных операциях Великой Отечественной войны. За умелое руководство войсками, инициативу, личную отвагу и мужество, проявленные в боях с врагом, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 апреля 1945 года генерал-майору Еншину Михаилу Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза. В 1950 окончил Курсы Усовершенствования офицерского состава. В 1950—1953 командовал 76-й гвардейской воздушно-десантной дивизией. С декабря 1958 — в отставке.
Имя Героя Советского Союза генерала М. А. Еншина было присвоено пионерской дружине средней школы № 22 города Новозыбкова Брянской области.