Уже в ранние годы Эсбьёрн Свенссон благодаря своим родителям — отцу, любителю джаза, и матери, классической пианистке — познакомился с джазовой и классической музыкой. Первоначально Свенссон проявлял интерес к классической музыке. В подростковом возрасте он увлекался рок-музыкой и даже организовал несколько «гаражных» групп вместе со своими одноклассниками. После этого Свенссон вернулся к классической музыке. Творческий поиск, однако, привёл его к джазу.
В возрасте 16 лет Эсбьёрн Свенссон начал учиться в музыкальном колледже по специальности фортепиано. Позже он поступил в Стокгольмский Королевский Колледж Музыки и проучился там 4 года.
В 1990 году Свенссон создал свой собственный джазовый комбо с другом детства, барабанщиком Магнусом Остремом (Magnus ?str?m). Оба делали свои первые шаги в качестве сайдменов на шведской и датской джазовых сценах в 1980-х годах. В 1993 году к ним присоединился контрабасист Дан Берглунд (Dan Berglund). Так родилось Эсбьёрн Свенссон Трио (E.S.T.).
В 1993 Трио выпускает дебютный альбом When Everyone Has Gone, после чего E.S.T. постепенно укрепляется на скандинавской сцене.
в 1995 и в 1996 годах Эсбьёрн Свенссон признавался джазовым музыкантом года в Швеции.
Международная известность трио пришла с альбомом From Gagarin’s Point Of View (1999), который стал их первым альбомом, выпущенным за пределами Скандинавии. С выпуском альбомов Good Morning Susie Soho (2000) и Strange Place For Snow (2002) трио обратило на себя внимание джазовую аудиторию Соединенных Штатов Америки. А композиции из альбома Strange Place For Snow (2002) даже были использованы режиссером Мариной де Ван в её фильме «В моей коже». В 2002 году они отправились в 9-месячный тур по Европе, США и Японии. Их последующие альбомы — Seven Days Of Falling (2003), Viaticum (2005) и Tuesday Wonderland (2006) — одинаково хорошо восприняты критиками и поклонниками.
E.S.T. стало первым европейским джазовым трио, попавшим на обложку американского журнала Down Beat (выпуск — май 2006 года). Их последний альбом, E.S.T. Live in Hamburg, запись их концерта осенью 2006 года в Гамбурге (Германия) в рамках тура в поддержку альбома Tuesday Wonderland, был выпущен в ноябре 2007 года. Перед смертью Свенссона трио работает над концепцией интеграции электронных и механических звуковых решений в контекст джазового трио. Последнее выступление E.S.T. состоялось в Москве (Россия) в Зале имени П. И. Чайковского 30 мая 2008. В дополнение к своей работе с E.S.T. Свенссон записал альбомы с Нильсом Ландгреном и Викторией Толстой.
14 июня 2008 Свенссон пропал без вести во время занятия дайвингом в пригороде Стокгольма, Швеция. Его товарищи в конце концов нашли его лежащим без сознания на дне моря. Имея серьёзные травмы, он был доставлен в Karolinska University Hospital на вертолёте, но его жизнь не удалось спасти. Ему было 44 года. После смерти у него осталась жена и двое сыновей.