Вырос в Галлиполи (провинция Лечче). Отец, офицер, погиб во время Второй мировой войны. Эудженио закончил Военную академию в Неаполе (1954), но не пошел по стопам отца. Он резко изменил свою жизнь: переехал в Норвегию, получил там степень по французскому языку, норвежской литературе и истории религий. В 1961 снова сменил место жительства, перебрался теперь в Варшаву, где стал учиться режиссуре в Государственной театральной школе. В 1962 присоединился к Гротовскому в Ополе, проработал с ним три года, написал несколько книг о его театральных поисках, составил сборник теоретических статей, выступлений и заметок мастера К бедному театру (рус. пер. 2009).
В 1963 посетил Индию, познакомился в провинции Керала с традиционным театром Катакали, опубликовал о нем исследование, переведенное на несколько языков.
Вернувшись в Осло в 1964, решил полностью посвятить себя режиссуре, но как иностранец не мог быть допущен к профессии. Вместе с Й.Бьёрнебу создал независимую театральную группу и основал альтернативный Театр Одина (1964), поставил драму Бьёрнебу Любители птиц, которая была показана в Норвегии, Швеции, Финляндии и Дании. По приглашению местных властей Барбу сделал базой театра городок Холстебро на северозападе Норвегии.
В 1979 создал Международную школу театральной антропологии. Входит в редакционный совет крупных международных театральных журналов (The Drama Review, Performance Research, New Theatre Quarterly, Teatro e Storia, Teatrolog?a). Автор нескольких монографий о театральном искусстве, переведенных на различные языки мира.
Третий театр Барбы опирается на традиции европейской пантомимы, китайской оперы, индийского народного театра, театрального искусства Бали, Явы, Кореи.