Родилась в селе Добровольное Ставропольского края. Родители погибли в Гражданской войне, воспитывалась в семье дяди. Окончила среднюю школу.
В 1931 году поступила в Батайскую школу пилотов. С 1932 по 1939 годы готовила лётчиков в качестве инструктора.
В сентябре 1939 года её назначили командиром авиазвена 218-го авиаотряда специального применения, расположенный в станице Пашковская Краснодарского края. Избиралась депутатом Краснодарского городского Совета.
В ходе Великой Отечественной войны в 28 лет возглавила сформированный женский бомбардировочный полк. Женские авиаполки формировались под руководством известной женщины-лётчицы, Героя Советского Союза Марины Расковой, которая и возглавила один их трёх полков, созданных в октябре 1941 года.
Евдокия Бершанская, как опытный лётчик с десятилетним стажем и хорошими организаторскими способностями, стала командиром 588-го ночного бомбардировочного полка. Под её командованием полк сражался до окончания войны. Порой его шутливо называли: «Дунькин полк», с намёком на полностью женский состав и оправдываясь именем командира полка. В 1943 году полк был удостоен звания Гвардейского и был переименован в 46-й гвардейский Таманский ночной бомбардировочный полк. Позднее был награждён орденом Красного Знамени и орденом Суворова.
Атаки женского полка под предводительством Евдокии Давыдовны были так удачны, стремительны и точны, что немцы прозвали женщин-лётчиц «ночными ведьмами». В 1981 году в СССР киностудия им. Горького выпустила фильм «В небе «Ночные ведьмы»».
23 лётчицы полка были удостоены звания Героя Советского Союза, 2 — Героя России, 1 — Героя Казахстана. До своего расформирования в октябре 1945 года полк оставался полностью женским, на всех должностях в части служили только женщины.
После войны вместе с мужем переехала в Москву, где работала в комитете советских женщин, а также в комитете ветеранов войны. Умерла от инфаркта.
Вышла замуж за Петра Бершанского, от которого родила сына. Однако брак скоро распался. Под фамилией Бершанская Евдокия Давыдовна прошла всю войну, в ходе которой познакомилась со своим вторым мужем.
Боевые пути 46-го гвардейского и 889-го ночного легкобомбардировочного авиаполка постоянно были рядом, они входили в одну авиадивизию, летали на одинаковых самолётах, располагались часто на соседних аэродромах. После расформирования полка сыграли свадьбы не только командиры полков Евдокия Бершанская и Константин Бочаров, но и многие из лётчиков обоих полков (однако во время войны ни одна из военнослужащих полка не ушла из него по беременности).
Евдокия Бершанская — единственная женщина, удостоенная ордена Суворова.
В 1975 году Евдокии Бочаровой было присвоено звание почётного гражданина Краснодара.