Эвген Кватерник родился 31 октября 1825 года в Загребе, в семье профессора. В 1842—1844 гг. изучал теологию в Сине и Загребе, затем — право (в 1844—1845 гг.) и педагогику (1845—1846 гг.) в Пеште. В 1847 году получил право преподавать, а в 1848 году — право заниматься адвокатской деятельностью.
После упразднения в 1848 году баном Йосипом Елачичем феодализма, хорватам была предоставлена бо?льшая независимость от Австро-Венгрии. Это вдохновляло сторонников полной независимости Хорватии, в числе которых был и Кватерник. Проработав адвокатом в городе Брод-на-Купи с 1851 года по 1857, он был вынужден эмигрировать из Австро-Венгрии в связи с запретом профессии адвоката.
В 1858 году пытался найти политическую поддержку в Российской империи, где находился в эмиграции. Когда это не удалось, Кватерник решил дистанцироваться ото всех славянских государств и народов и обратиться за помощью к Франции.
Возвратившись в Загреб в 1860 году, Кватерник был избран депутатом Сабора. 26 июня 1861 года вместе с другим депутатом — Анте Старчевичем — представил на заседании Сабора программу, декларирующую наделение Хорватии правами широкой автономии в составе Габсбургской монархии (на тот момент Хорватия была разделена на несколько частей). 26 июня 1861 года принято считать днём основания Хорватской партии права.
В 1862 году за свою политическую деятельность Кватерник сначала был арестован, а затем — выслан из Австро-Венгрии. Находясь в Италии, сотрудничал с Джузеппе Гарибальди и польскими, венгерскими и чешскими эмигрантами. После коронации Франца Иосифа в 1867 году Кватернику было позволено вернуться на родину.
В начале октября 1871 года Кватерник и несколько членов Хорватской партии права, не соглашаясь в том числе и с официальной политикой собственной партии, начали восстание в деревне Раковица в Кордуне. Восставшие провозгласили следующие цели:
Восставшие также призывали примкнуть к ним православных сербов, что некоторые из них и сделали, тем не менее восстание было быстро подавлено. Большинство участников, включая Кватерника, были убиты.