Евгений Абросимов начал судейскую карьеру в 1989 году, когда стал обслуживать матчи Первой лиги УССР. После распада СССР до 1996 года Абросимов обслуживал матчи Второй лиги Украины по футболу. С 1996 по 1998 года Евгений Абросимов работал на матчах Первой украинской лиги, а с 1998 года обслуживает мачти Украинской Премьер-лиги.