В 1977 году окончил обучение в Уральской государственной консерватории им. М. П. Мусоргского (класс гитары, преподаватель — Минеев А. В.). Служил в армии. В настоящее время работает преподавателем класса гитары в Тверском государственном университете. В 1988 году Евгений Анатольевич создал инструментальный дуэт «Музыкальные миниатюры» (скрипка — Елена Муравьёва, гитара — Евгений Баев) для которого и написал концертный репертуар. В музыкальной программе дуэта авторские сочинения Евгения Баева — сонаты, сюиты, концертные фантазии, моно-опера, пьесы, фольклорные обработки и т. д. Классическая, фольклорная, джазовая музыка записана участниками ансамбля на пяти CD. Концертные выступления в Москве и Твери записаны на трёх DVD. Дуэт «Музыкальные миниатюры» выступал с концертными программами во многих городах России, в Италии, Латвии, Германии, Франции и США. За время существования дуэта проведено более 1000 концертов. Ученики Евг. Баева — Илья Махов, Глеб Чечин, Алексей Прохоров, Александр Красавцев, Алексей Томкин — лауреаты международных и всероссийских конкурсов. Ими записаны 5 CD (mp3), состоящих из сочинений их учителя (концерт для двух гитар и русского оркестра, сонаты, сюиты, фольклорные обработки и т. д.). На сегодня список авторских сочинений Евг. Баева состоит из 500 произведений для гитары, дуэта гитар, для ансамблей гитара-скрипка, гитара-скрипка-альт, гитара-скрипка-виолончель, для домры-гитары, балалайки, вокальные сочинения и др. На международном конкурсе композиторов в Москве (2000 г.) концертная фантазия «Мастер и Маргарита» для скрипки и гитары и «Пять стихир» для гитары были отмечены дипломом. 2 ноября 2007 года в Академическом музыкальном колледже при Московской консерватории состоялся концерт класса Н. Н. Дмитриевой (кл.гитары), где прозвучали сочинения Евг. Баева. 18 ноября 2007 года в Тверской областной библиотеке им. Горького состоялась премьера концертной фантазии Евгения Анатольевича — «Доктор Живаго», написанной для скрипки и гитары. В 2008 г. Баевым написаны учебно-методическое пособие «Формирование игровых навыков гитариста» (на основе 100 этюдов) и сборник «25 этюдов-баррэ».