Родился в Ижевске в семье потомственных оружейников.
В 1934 году после окончания средней школы поступил в индустриальный техникум, по окончании которого работал на заводе.
В 1939 году был призван в ряды Красной Армии и направлен в школу младшего командирского состава, а позже — в школу оружейного мастерства. В годы Великой Отечественной войны старший оружейный мастер Драгунов, служивший на Дальнем Востоке, на фронт не попал. В дальнейшем, до демобилизации в 1945 году, работал старшим оружейным мастером.
В 1945 году Драгунов вернулся на Ижевский машиностроительный завод, где вновь продолжил работу старшим оружейным мастером в отделе главного конструктора. Занимался проектированием различных образцов стрелкового спортивного и боевого оружия (в частности — снайперской винтовки СВД).
Умер Евгений Фёдорович 4 августа 1991 года. Похоронен на Хохряковском кладбище г. Ижевска.