Евгений Иванович Забабахин родился в Москве. После окончания машиностроительного техникума, работал технологом на заводе «Шарикоподшипник». В 1938 году он был принят на физический факультет МГУ, с началом Великой Отечественной войны был призван в Красную Армию и направлен на учёбу в Военно-воздушную академию им. Н. Е. Жуковского. В 1944 году после окончания академии продолжил учёбу в адъюнктуре. Темой диссертации, которую он защитил в 1947 году, было исследование процессов в сходящейся ударной волне.
Поскольку в это время проводились работы по созданию в СССР атомной бомбы, он был направлен в Институт химической физики, а с весны 1948 года — в КБ-11 (ныне ВНИИЭФ в Сарове). За участие в разработке первой советской атомной бомбы и успешное испытание был удостоен звания лауреата Сталинской премии II степени и ордена Ленина. В 1951 году за разработку и испытание бомбы улучшенной конструкции он был удостоен звания лауреата Сталинской премии I степени и ордена Трудового Красного Знамени. В 1953 году за улучшение физической схемы ядерных зарядов он был удостоен звания Героя Социалистического Труда и лауреата Сталинской премии I степени. В том же году он защитил докторскую диссертацию.
В 1955 году Е. И. Забабахин был направлен на Урал, в город Челябинск-70 (ныне Снежинск), в создаваемый НИИ-1011 заместителем научного руководителя и начальником теоретического отделения. Разработки НИИ привели к принятию на вооружение Советской Армии первого термоядерного заряда. В 1958 году Забабахин был удостоен звания лауреата Ленинской премии и избирается членом-корреспондентом АН СССР. С 1960 года он становится руководителем НИИ и пробыл в этой должности до своей смерти. В 1968 его избирают действительным членом АН СССР.