В 1926 году окончил школу-девятилетку № 10 города Казани и поступил в Казанский государственный университет на физико-математический факультет. По окончания университета, в 1931 году, поступил в аспирантуру, где под руководством профессора Всеволода Александровича Ульянина (1863—1931) и Г. А. Остроумова (лаборатория ультракоротких волн (УКВ), Ленинград) приступил к исследованию физических и химических действий УКВ на вещество. Результаты исследования легли в основу кандидатской диссертации «Исследование суперрегенеративного эффекта и его теория», которая была успешно защищена в 1933 году в Казанском государственном университете.
В 1933—1947 заведовал кафедрой экспериментальной физики Казанского государственного университета. 30 января 1945 года в Физическом институте АН СССР, г. Москва, защитил докторскую диссертацию, посвященную электронному парамагнитному резонансу. В 1947—1951 принимал участие в работах по созданию атомной бомбы в Конструкторском бюро КБ-11 (Арзамас-16), в 1951—1976 работал у И. В. Курчатова в Лаборатории № 2 (в Московской Лаборатории измерительных приборов АН СССР (ЛИПАН)).
Известен как первооткрыватель нового фундаментального явления — электронного парамагнитного резонанса. Исследуя в начале 1940-х годов парамагнитную релаксацию в конденсированных средах с использованием метода резонансного поглощения веществом радиоволн с частотой 100 МГц и метода модуляции постоянного магнитного поля, ему удалось наблюдать пики поглощения СВЧ-поля в безводном хлориде хрома, в сульфатах марганца и меди, в других парамагнитных солях. В этих работах, в частности, была показана линейная зависимость напряженности постоянного магнитного поля от частоты осциллирующего СВЧ-поля, а также обратная зависимость парамагнитной восприимчивости (величины эффекта) от температуры.
Открытие Е. К. Завойского «Явление электронного парамагнитного резонанса» было внесено в Государственный реестр научных открытий СССР 23 июня 1970 года как научное открытие № 85 с приоритетом от 12 июля 1944 года . Эта дата и считается официальной датой открытия метода электронного парамагнитного резонанса как одно из важнейших событий в физике XX столетия. Открытие метода дало толчок образованию и развитию научных центров во многих странах мира, где проводятся интенсивные исследования различных объектов.
Считается, что Евгений Константинович Завойский наблюдал сигналы ЯМР в июне 1941 года, но протонный резонанс наблюдался спорадически, и результаты были плохо воспроизводимы. Начавшаяся вскоре война помешала продолжить исследования в этом направлении.
Вслед за ЭПР были открыты другие методы магнитного резонанса: ядерный магнитный резонанс (ЯМР), ферромагнитный резонанс, антиферромагнитный резонанс, ядерный квадрупольный резонанс, магнитный акустический резонанс, многие виды двойных резонансов. Дело, начатое Е. К. Завойским, продолжили его соратники, члены-корреспонденты АН СССР С. А. Альтшулер (Казанский государственный университе) и Б. М. Козырев (Казанский Физико-технический институт). Открытие метода ЭПР привело к выдающимся успехам в физике магнитных явлений, физике твердого тела, физике жидкостей, неорганической химии, минералогии, биологии, медицине и других науках. На основе явления резонансного поглощения СВЧ излучения создан, например, квантовый парамагнитный усилитель, использующийся для осуществления дальней космической связи.
В Казани есть улица академика Завойского.
С 1984 года КФТИ Казанского Научного Центра РАН носит имя Е. К. Завойского.
В 2004 году на площади перед физическим корпусом здания КГУ в рамках празднования 200-летия Казанского Государственного Университета сооружен бронзовый бюст Е. К. Завойскому.
Е. К. Завойский награждён Сталинской (1949) и Ленинской (1957) премиями, званием Героя Социалистического Труда (1969), орденами Ленина (1950, 1954 и 1969), орденом Трудового Красного Знамени (1975), медалями, а также премией Международного общества магнитного резонанса (1977, посмертно).