До карьеры в хоккее с шайбой, известен выступлениями в хоккее с мячом. Также Евгений Бабич участвовал в знаменитой футбольной «команде лейтенантов».
До 1946 года Бабич сумел завоевать два чемпионства СССР по бенди.
Однако известен Евгений Бабич больше как хоккеист с шайбой. В 1956 году на Олимпийских играх он с командой завоевал первые золотые медали для сборной СССР, позднее прозванной «красной машиной».
После окончания карьеры несколько лет работал тренером. Последние годы, несмотря на сравнительное благополучие, страдал депрессией, неоднократно высказывал знакомым мысли о самоубийстве. 11 июня 1972 года Евгений Бабич повесился в ванной своей квартиры. Похоронен в г. Москве на Головинском кладбище
В 1954—1957 гг входил в состав сборной команды СССР.
В чемпионатах мира, Европы и Олимпиадах сыграл 27 матчей, забил 6 голов. В чемпионатах СССР провел 170 матчей, забил 143 гола.
Заслуженный мастер спорта СССР (1953).
Окончил Военный институт физической культуры и спорта (1957).