После окончания московской средней школы № 656 в 1981 году поступил в Ленинградское пожарно-техническое училище МВД СССР. Окончив училище в 1983 году, был распределен для дальнейшего прохождения службы инструктором профилактики в ВПЧ-10 УПО-3 ГУПО МВД СССР. С 1987 года проходил службу в Московском гарнизоне пожарной охраны.
В 2002 году возглавил службу пожаротушения Главного управления МЧС России по городу Москве. По долгу службы выезжал на самые тяжелые и сложные пожары в столице. На его счету в должности руководителя службы пожаротушения более 250 крупных пожаров, десятки спасенных жизней. В 2000 году участвовал в тушении пожара на Останкинской башне, в 2006 году руководил тушением пожара в Главном здании МГУ им. Ломоносова.
Погиб 20 марта 2010 года при обрушении конструкции во время пожара в бизнес-центре на севере Москвы. Пожар произошел на севере Москвы, на 2-й Хуторской улице, 38. Огонь охватил четыре этажа пятиэтажного здания. На момент прибытия первых пожарных огонь бушевал на первом этаже на площади 300 квадратных метров, после чего в считанные минуты перекинулся на пятый этаж по обшивке стен и по вентиляции, а оттуда — на нижние этажи. В результате общая площадь возгорания составила 800 квадратных метров.
Евгений Чернышёв лично вывел на улицу группу людей, а затем вернулся в здание. По рации Чернышёв сообщил, что у него заканчивается кислород в дыхательном аппарате. А потом в помещении, где он находился, обрушилась кровля.
Отпевание Евгения Чернышёва состоялось 23 марта 2010 года в Свято-Даниловом монастыре в Москве, похороны — 24 марта 2010 года на Митинском кладбище в Москве. У Евгения Чернышёва остались жена Марина и сын Даниил.
Евгений Чернышев был верующим человеком, являлся активным членом прихода храма-часовни в честь иконы Божией Матери «Неопалимая Купина» при управлении государственной противопожарной службы. Соболезнования в связи с его кончиной высказал предстоятель Русской православной церкви Патриарх Кирилл.
Фотография Евгения Чернышёва, сделанная во время тушения пожара в Останкинской телебашне, была использована на фальшивом почтовом блоке, изданном от имени почтовой службы Республики Сомали. Персональных данных Чернышёва на блоке не содержится, скорее всего фото было взято из интернета и удачно подошло как символ простого пожарного.
Именем Е. Н. Чернышёва названа 13-я пожарная часть Московского управления МЧС (Дмитровское шоссе, 102), а также пожарно-спасательный катер московского МЧС.