Евгений Кривошеев родился в 1927 году в Ульяновской области.
В 1944 году окончил среднюю школу.
С 1944 по 1952 год проходил военную службу в авиационном подразделении в качестве стрелка-радиста.
В 1947 году, получив разрешение для поступления, стал студентом заочного факультета Ленинградского педагогического института имени А.И. Герцена (в то время военным учиться в гражданских вузах не разрешалось). Институт закончил в 1950 году, получив квалификацию учителя географии средней школы.
После демобилизации в 1952 году переехал в г. Нарву (ЭССР), работал сотрудником редакции газеты «Нарвский рабочий». Одновременно преподавал историю в школе рабочей молодежи.
В октябре 1953 года поступил в Нарвский городской музей научным сотрудником. С 1960 по 1978 год был директором музея. За это время молодой руководитель построил и дополнил экспозицию музея, собрав материал по истории рабочего и революционного движения в Нарве, истории Нарвского рабочего полка (сформирован в 1941 г.) и боям за освобождение Нарвы с февраля по июль 1944 года.
Проводил большую работу по пополнению музейных фондов, по приобретению книг для музейной библиотеки.
Когда в городе шли приготовления к сносу полуразрушенных войной зданий Старого города и Нарвского замка, Евгений Кривошеев отстоял замок. В 1955 году в городе уже начались работы по расчистке завалов и укреплению наиболее разрушенных и опасных участков. В это же время велись работы по реставрации Ратуши, в которой в 1960 году разместился дом пионеров.
После ухода из Нарвского музея работал преподавателем истории в сельскохозяйственной академии в Тарту, работу был вынужден оставить по состоянию здоровья в 1983 году.
Подрабатывал в Нарвском бюро путешествий и экскурсий, читал лекции в городской организации общества «Знание», писал статьи в городских и республиканских газетах.
В последнее время жил в г. Нарва-Йыэсуу, где в 1992 году вместе с краеведом В.И. Ларюшиным участвовал в создании краеведческого музея.
Скончался в 2000 году, похоронен в Нарва-Йыэсуу.
Был награжден Почетными грамотами Президиума Верховного Совета ЭССР, Министерства культуры Эстонии и другими.
В 2006 году в память о Кривошееве в Нарва-Йыэсуу на доме, где он жил, была установлена памятная доска.