Чемпион мира 2008 года. Заслуженный мастер спорта России (2009).
Уехал в Северную Америку в 1997 году. Провёл сезоны 1997—1998 и 1998—1999 в АХЛ.
Впервые вышел на лёд в НХЛ 1 января 2000 года против «Нэшвилл Предаторз». Набоков заменил Стивена Шилдза и отбил все 4 броска. Первый гол пропустил 11 января в игре против «Сент-Луис Блюз» в момент, когда уезжал с площадки для выпускания 6 полевого игрока при розыгрыше отложенного штрафа.
Первый матч в стартовом составе в НХЛ провёл 19 января 2000 года против «Колорадо Эвеланш», ворота которого защищал Патрик Руа. Перед матчем на телеэкране высветилось соотношение побед вратарей в НХЛ: 0 — 427. Матч завершился со счётом 0-0: Набоков отбил все 39 бросков.
Всего в сезоне 1999—2000 Набоков участвовал в 15 матчах НХЛ, однако большей частью выходил на замену. В сезоне 2000—2001 Набоков считался новичком.
Во втором матче сезона 2000—2001 года получил травму основной вратарь «Шаркс» Стивен Шилдз. Тренер Дэррилл Саттер доверил ворота не Микке Кипруссоффу, а Набокову. Шансом, которого вратарь ждал так долго, он воспользовался сполна.
В октябре и декабре Набоков был признан лучшим игроком «Акул». В ноябре и декабре — лучшим новичком в НХЛ. В январе был признан игроком недели в НХЛ. Именно за этот сезон Набоков получил Колдер Мемориал Трофи — приз лучшему новичку НХЛ.
Принимал участие в «Матчах всех звёзд» НХЛ (2001, 2008).
Забросил шайбу в матче «Сан-Хосе Шаркс» — «Ванкувер Кэнакс» 10 марта 2002 года.