Эйстейн Бодсвик начал заниматься на тубе в пятнадцатилетнем возрасте. В восемнадцать лет он выиграл норвежский национальный конкурс музыкантов-исполнителей. Он занимался на тубе у многих выдающихся исполнителей, включая Арнольда Джейкобса, Роджера Бобо и Джона Флетчера. В 1991 году Бодсвик стал лауреатом Международного конкурса исполнителей в Женеве.
В настоящее время Бодсвик занимается сольной и камерной концертной деятельностью, лишь время от времени выступая в составе различных оркестров в качестве приглашённого солиста. Он является первым исполнителем около сорока произведений композиторов из США, России, Норвегии, Швеции и Швейцарии. Кроме того Эйстен Бодсвик сам пишет музыку и дирижирует собственными сочинениями для оркестра.