Родился в Риге, в семье переехавшего из Смилтене мастера-гончара, занимавшегося мелкой торговлей. Отчим его матери был строительным подрядчиком с обширной практикой и мальчик с ранних лет был знаком со строительством и чертежами. Имевшийся художественный талант развился и окреп в студенческие годы. После учёбы в Рижском реальном училище Петра I поступил на архитектурное отделение Рижского Политехнического института, который окончил в 1906 году.
Год проработал помощником в архитектурном бюро Константина Пекшена. Ещё студентом в 1904 году побывал в Финляндии, ознакомился с местной архитектурой и завёл личные контакты с финскими архитекторами. С целью повышения квалификации много ездил по странам Европы, в 1909 году был в Швеции, Дании и Германии, затем в 1910 году в Германии и Франции. В дальнейшем был занят самостоятельной архитектурной практикой. Одновременно преподавал в Рижском политехническом институте, Балтийской технической высшей школе (1907—1919), Латвийском университете (1919—1944). В 1920-х — 1930-х годах — почётный доктор архитектуры, профессор и декан архитектурного факультета ЛУ.
Архитектурно-проектное бюро, принадлежавшее Э. Лаубе, находилось в выстроенном по его проекту здании на улице Лачплеша 70а. Лаубе — автор 83 построенных в Риге многоэтажных каменных жилых и общественных зданий, а также большого числа других строений, всего около двухсот. Лаубе очень тщательно подходил к декоративной отделке. Он применял натуральные материалы — дерево, тёсаный камень; использовал при отделке фасада всю орнаментальную палитру, чрезвычайно популярную в символике модерна. Во многом, благодаря Лаубе, центр Риги приобрёл оригинальный и узнаваемый вид.
Во времена Первой Латвийской Республики стал практически правительственным архитектором, любимцем Карлиса Улманиса. Его работы, по-прежнему профессионально безупречные, преобрели некоторую официальную окраску. По его эскизам был переделан актовый зал Латвийского университета, построена башня Трёх звёзд в Президентском дворце и оборудован интерьер Красного зала.
Опубликовал несколько десятков научных работ по архитектурным стилям и другим вопросам. Участник многочисленных комиссий и общественных организаций. С момента основания Национального строительного комитета (1936) был бессменным руководителем комиссии по архитектурным вопросам. Создатель первого на латышском языке специализированного журнала «Latvijas Architekt?ra» («Латвийская архитектура»), выходившего в 1938—1940 годах. Почётный член-корреспондент Британского Королевского Архитектурного института (1937). Кавалер Ордена Трёх звёзд III (1929) и IV (1926) степени, награждён орденом Крест признания II степени (латыш. Atzin?bas krusts) в 1938. Рыцарь I класса шведского Ордена Васы. Лауреат Национальной премии (латыш. T?vzemes balva) 1940 года.
В 1944 году эмигрировал в Германию, жил в Берлине, затем переехал в Пиннеберг, недалеко от Гамбурга (1947), был деканом Архитектурного факультета Балтийского университета. После, по приглашению сына, переехал в США (1950). До 1955 года работал в архитектурном бюро города Олимпия (штат Вашингтон). Затем его новым местом жительства стал Портленд (штат Орегон), где была написана программная книга «The Manifestation of Architecture» («Архитектурная манифестация»), подводившая итог многолетнего творчества.