Фабиан Кусевицкий родился в семье дирижёра и музыкального педагога Адольфа Александровича Кусевицкого (1867—1939) и его жены Раисы Давыдовны. С 1923 года работал в США, первоначально как контрабасист Филадельфийского оркестра, но уже в 1925 г. одновременно с работой в оркестре организовал в Филадельфии собственный камерный оркестр. В 1930-е гг. как приглашённый дирижёр выступал с оркестрами Австрии, Германии, Южной Америки и руководил в Бостоне Народным симфоническим оркестром (англ. People's Symphony of Boston). В 1936 г. в качестве приглашённого дирижёра с большим успехом выступил с Индианаполисским симфоническим оркестром и в следующем году был приглашён воглавить этот коллектив, у руля которого оставался до 1955 г. Одновременно продолжал принимать активное участие в развитии латиноамериканской музыкальной культуры — особенно прочные отношения связывали Севицкого с Буэнос-Айресом, где он многократно выступал и учредил собственный конкурс для молодых композиторов, особенно известный тем, что в 1953 г. его победителем стал Астор Пьяццола; оркестр под управлением Севицкого исполнил конкурсную вещь Пьяццолы — три пьесы для оркестра «Буэнос-Айрес» — в ходе концерта в Буэнос-Айресской школе права, закончившегося потасовкой в публике, часть которой сочла себя оскорблённой тем, что в состав оркестра были добавлены два «простонародных» бандонеона. Севицкий также покровительствовал молодому японскому композитору Акире Ифукубе, исполнив в 1936 г. мировую премьеру его «Японской рапсодии» (с Народным симфоническим оркестром Бостона), а в 1954 г. — мировую премьеру его Sinfonia Tapkaara с Индианаполисским симфоническим.
В поздние годы Севицкий успел поработать в Гаване (1956) и Гватемале (1957) прежде чем обосновался в Майами, где преподавал в университете и преобразовал университетский оркестр в Филармонический оркестр Майами, которым руководил до самой смерти.
По воспоминаниям Гордона Эпперсона, игравшего в оркестре Севицкого в Индианаполисе, Севицкий был не лишён эксцентричности:
Первая жена — оперная певица Мария Кусевицкая. Второй женой Севицкого (с 1959 года) была арфистка Мэри Сполдинг Севицки (Mary Spalding Sevitzky, впоследствии Портанова).