Родился в селе Вец-Юдуппе Грос-Эзернской волости Гольдингенского уезда Курляндской губернии (ныне хутор Юдупес Рубской волости Салдусского края Латвии). Латыш по национальности.
Работал в типографии рассыльным (1909), служащим магазина «Мюр и Мерилиз» в Москве. Окончил Рижский технический университет и военное училище в Риге (1916). В составе дивизии латышских стрелков участвовал в Первой мировой войне, после ранения весной 1917 демобилизовался. Работал слесарем на одном из петроградских заводов. В 1917 вступил в РСДРП. С 1918 — сотрудник Петроградской ЧК.
Участник Гражданской войны в Туркестане, затем работал в ЧК Туркестана в качестве помощника Глеба Бокия. С 1922 года — начальник 2-го отделения Восточного отдела ГПУ, отвечавшего за борьбу с контрреволюционной деятельностью на Средней Азии и Среднем Востоке.
С 13 октября 1923 — начальник управления Соловецкого лагеря особого назначения.
В мае 1926 по ходатайству Эйхманса сократили вдвое срок заключения Н. Френкелю, а через год его досрочно освободили. Позднее Френкель стал генерал-лейтенантом НКВД.
С 20 мая 1929 — начальник 3-го отделения Спецотдела ОГПУ (внешняя контрразведка).
C 25 апреля до 16 июня 1930 — первый начальник Управления лагерей (УЛаг, с ноября — ГУЛаг) ОГПУ. На Эйхманса было возложено руководство всеми лагерями ОГПУ того времени: Соловецким, Вишерским, Северным, Казахстанским, Дальневосточным, Сибирским и Среднеазиатским.
В 1930 организовал Вайгачскую экспедицию ОГПУ и до 1932 был её начальником.
Официально экспедиция занималась разведкой и разработкой руд цветных металлов на острове Вайгач и побережье Карского моря.
В 1932-37 — заместитель начальника 9-го отдела (начальником отдела был Глеб Бокий), начальник 3-го отделения 9-го отдела ГУГБ НКВД СССР. Отделение из трёх человек вело шифрработы и руководило криптографией, организовывало шифрсвязь с заграничными представительствами СССР. Одновременно Эйхманс был заместителем начальника спецотдела. Проживал в Москве по адресу ул. Петровка, д.25а, кв. 29.
Уволен из НКВД. Был арестован 22 июля 1937 по обвинению в «участии в заговоре в НКВД». Расстрелян 3 сентября 1938 года.
Реабилитирован 25 июля 1956.