Фёдор Черенков начал играть в футбол в команде районного ЖЭКа, где он проживал, участвуя в турнире «Кожаный мяч». На одной из игр его, вместе с двумя игроками, заметили селекционеры спортивного клуба «Кунцево», пригласившие их к себе. В «Кунцево» Черенков провёл два года, занимаясь у тренера, Михаила Ивановича Мухортова.
В 1971 году Мухортов направил Фёдора в футбольную школу московского «Спартака», к тренеру Анатолию Евстигнеевичу Маслёнкину. В СДЮШОР «Спартак» Черенков провёл шесть лет, выступая под руководством Маслёнкина, а затем Владимира Игнатовича Чернышева.
В 1977 году Черенков окончил СДЮШОР (впоследствии получившую его имя), на его выпускные игры приезжал руководитель команды, Николай Петрович Старостин, который пригласил футболиста в дубль «красно-белых»
В «Спартак» Черенкова взял Константин Иванович Бесков, который в конце 70-х годов занимался обновлением состава команды. С первых матчей Черенков зарекомендовал себя как яркий и незаурядный футболист, с отличной техникой и видением поля. Фёдор быстро стал одним из ведущих игроков «Спартака», а после ухода из команды Юрия Гаврилова перенял у него роль ключевого организатора игры команды. На поле Черенков отличался редким комбинационным чутьём, точным и своевременным пасом, нестандартными действиями в атаке. Игра Черенкова принесла ему признание и любовь болельщиков.
Становясь лучшим футболистом страны, Фёдор Черенков тем не менее не привлекался в главную команду страны. Тогдашний тренер сборной Лобановский строил игру на динамовцах Киева, игравший в силовой, доведенный до автоматизма футбол, в который свободный художник «Спартака» не вписывался. Впоследствии, после провала 1990 года, среди прочих причин была названо невключение в сборную Черенкова.
В 1990 году на полгода уехал играть в «Ред Стар» (Париж, Франция). Однако в команде не прижился и уже осенью 1991 года снова играл за «Спартак».
23 августа 1994 года был организован прощальный матч Черенкова, где соперником выступила «Парма». Генеральным спонсором прощального матча выступила компания «МММ», подарив в перерыве матча Фёдору новый джип Mitsubishi Pajero.
С 1994 года — на тренерской работе в клубе «Спартак» Москва. В последние годы от тренерской деятельности отошёл, выступает в отдельных ветеранских командах.
В 2011 году, по просьбе Председателя Правления ОАО «Российский банк развития», возобновил тренерскую деятельность, став главным тренером сборной команды банка по футболу.
Женат вторым браком, жена Ирина, приемный сын Денис. От первого брака есть дочь Настя.
В 12 лет снялся в эпизоде детского фильма «Ни слова о футболе», где забивает гол «ножницами».