Родился в 1909 году в хуторе Каменно-Бродский Области Войска Донского (ныне Константиновский район Ростовской области).
Затем переехал с семьей на жительство в г. Шахты. Работал десятником в каменном карьере. Отсюда, из Шахт, ушёл в июне 1941 года на фронт.
Воевал артиллеристом в стрелковом полку. Участвовал в Сталинградской битве, форсировал Днепр. С октября 1943 сражался в составе 32-артиллерийского полка 31-й стрелковой дивизии 52-й гвардейской армии (командарм Коротеев К. А.) на 2-ом Украинском фронте, участвовал в освобождении Украины и Молдавии.
Командир орудия старший сержант Ф. Ф. Першиков вместе с расчетом 1 апреля 1944 года стойко оборонял рубеж в районе села Пырлица (Молдавская ССР), успешно отразил все вражеские контратаки, подбил 2 танка. Несколько раз водил бойцов в атаку. За это был удостоен звания Героя.
В одном из боев под Бреслау (Польша), Першиков был тяжело ранен и отправлен в госпиталь. Затем был демобилизован и вернулся в родной город. Несмотря на инвалидность, Федор Федорович продолжал работать до последних дней свой жизни.
Умер 30 января 1958 года, похоронен в г. Шахты.