Федот Сычков родился в бедной крестьянской семье в селе Кочелаеве. С детства Федот Сычков проявлял способности к живописи. Работал в иконописной мастерской, писал фрески в церквях, выполнял портреты по фотографиям.
В 1892 году он уехал в Санкт-Петербург, в Рисовальную школу Общества поощрения художеств при поддержке генерала И. А. Арапова (1844—1913), обратившего внимание на талантливого молодого художника-самоучку. В 1895 году Ф. Сычков окончил Рисовальную школу и стал вольнослушателем в Высшем художественном училище при Академии художеств. После окончания учёбы художник вернулся на родину.
В 1900 году ему было присвоено звание художника за картину «Вести с войны».
Главная тема художника — жизнь крестьян, сельские праздники. Наиболее известные работы Сычкова:
Ф. В. Сычков умер в Саранске в 1958 году.
С 1960 года в Мордовском республиканском музее изобразительных искусств имени С. Д. Эрьзи размещена постоянная экспозиция его произведений (в фондах этого музея находится самая большая коллекции живописных и графических работ Сычкова — около 600 произведений, включая этюды и эскизы).
В 1970 году, к 100-летию со дня рождения выдающегося живописца, был издан приказ Министерства культуры Мордовской АССР об открытии на родине художника мемориального музея. Дом-музей Ф. В. Сычкова был открыт 11 марта 1970 года в с. Кочелаеве после некоторой реконструкции помещений.