Феликс был старшим ребёнком среди шести братьев и сестёр, из которых его младший брат Фридрих (1870—1925) стал впоследствии известным химиком. Отец, Леопольд Ауэрбах, был уважаемым врачом и профессором медицины в университете Вроцлава. Его матерью была Арабелла Ауербах, урождённая Гесс (нем. He?). От неё он получил талант и любовь к музыке, которая сопровождала его всю жизнь.
Феликс Ауербах получил гуманитарное образование с 1865 по 1873 г. в гимназии Марии Магдалены его родного города. После получения аттестата зрелости он начинал уже в возрасте 16 лет учёбу в университетах во Вроцлаве, в Гейдельберге у Густава Роберта Кирхгоффа и в Берлине у Германа Гельмгольца, где в 1875 году при его поддержке получил ученую степень кандидата наук за работу «О природе вокальных звуков», работал ассистентом Оскара Эмиля Майера с 1879 года в физическом институте университета Вроцлава, с 1880 года там же, уже в качестве приват-доцента. С 1889 до его ухода на пенсию в 1927 он работал на кафедре теоретической физики в университете Йены, приняв руководство кафедрой от Эрнста Аббе, он тем не менее до 1923 года не мог получить звание профессора в силу того, что был евреем. В 1883 году сочетался браком с Анной (урожд. Зильбергляйт, 1860—1933), их брак остался бездетным. Анна занималась общественной деятельностью, была сторонницей женской эмансипации, много лет возглавляла Средне-немецкий женский союз.
Ф. Ауэрбах поддерживал тесные контакты с «Веймарским Баухаузом» (Weimarer Bauhaus) — творческим союзом художников, дизайнеров и архитекторов. Его основоположник — архитектор Вальтер Гропиус спроектировал ему и построил жилой дом в Йене. Долгие годы этот дом был культурным центром для художников и учёных, здесь Эдвард Мунк в 1906 году написал портрет Феликса Ауэрбаха. В 1995 году дом реставрировали, и теперь здесь размещён небольшой музей. Ф. Ауэрбах окончил жизнь самоубийством вместе со своей супругой, сразу после прихода к власти нацистов в 1933 году, так как оба были евреи. В своём прощальном письме он написал, что «он заканчивает земной путь без сожалений, после почти 50-летнего, взаимно приятного сосуществования (в браке) после последней ночи полного веселья»