Большую часть своей карьеры Феликс провёл за аштаракский клуб, перейдя туда из ереванского «Динамо». В «Мике» являлся основным вратарём начиная с 2002 года. В январе 2008 год побывал на просмотре у алматинского «Кайрата», но не подошёл клубу. Трижды становился самым надёжным вратарём сезона (2001, 2006, 2007). В том же сезоне начал реже появляться на поле в составе аштаракцев, проводя матчи главным образом за дубль. Выйдя два раза в очередном чемпионате, Феликс решил перейти в другой клуб. Путь последовал в тегеранский «Дамаш», заключив с иранцами контракт до 1 мая 2010 года. Но и до конца года не засидевшись в Тегеране, был куплен дебютантом армянской Премьер-лиги дилижанским «Импульсом». Однако проведя некоторое время в клубе Акопян не разу не сыграл за клуб. В итоге Акопян покинул клуб. Долгое время не мог себе найти место работы. После просмотров в польском «Гурнике», в котором он не закрепился, появилась информация о возвращении Акопян в «Мику». Перехода как такового не состоялось и Акопян продолжил карьеру в Иране. В период летнего трансфера в услугах игрока зануждалась «Мика», терпящая в сезоне игровой кризис. Но возвращение Акопян в главную команду так и не было осуществлено, ввиду присутствие более стабильно играющего Геворга Каспарова. Акопян доиграл сезон в дублирующей команде в первой лиге, а после решил завершить с выступлением в роли игрока.
За сборную Армении Феликс провёл всего один матч. Произошло это в 12 сентября 2007 года в городе Валетта, в товарищеской игре против сборной Мальты. Армянская команда выиграла встречу со счётом 1:0.
По окончании сезона 2011 года Акопян завершил карьеру игрока и перешёл на тренерский мостик ереванском «Арарате». Акопян, значась в заявке команды на сезон 2012/13 ассистентом главного тренера, по сути является тренером вратарей, к амплуа которых имеет самое непосредственное отношение.