Штраус родился 6 сентября 1915 году в Мюнхене. Его родители были ревностными католиками, монархистами и противниками прусского господства. Франц Йозеф учился в гимназии, в юности занимался велосипедным спортом.
В конце 1930-х годах активно участвовал в национал-социалистических молодёжных организациях. В 1939 г. был призван в вермахт.
После войны некоторое время находился в лагере для военнопленных, но уже в 1945 году был отпущен на свободу, поскольку не был уличён в совершении военных преступлений. В том же году стал членом партии Христианско-социальный союз. В 1946 году был избран в совет округа Шонгау. В 1949 году был избран генеральным секретарём ХСС и оставался ее лидером до самой смерти.
В 1966 году Штраус становится федеральным министром финансов в правительстве канцлера Курта Кизингера.
С 1978 по 1988 годы Штраус занимал пост премьер-министра Баварии, а в 1983-1984 годах — также председателя Бундесрата. В период канцлерства Гельмута Коля Штраус, являясь лидером второй партии правительственной коалиции, являлся одним из ключевых политиков ФРГ того периода.
Штраус умер 3 октября 1988 года в Регенсбурге.
В честь него назван международный аэропорт Мюнхена