Больцони начал играть в городе Сан-Коломбано-аль-Ламбро, прежде чем пришёл в детскую академию клуба «Интер» Милан, Больцони прошёл через все возрастные команды, начиная с команды 13-ти летних и заканчивая 20-ти летними, с которыми выиграл молодёжное итальянское первенство. 1 февраля 2007 года Больцони дебютировал в первой команде «Интера» в полуфинальном матче кубка Италии против «Сампдории», а 19 сентября был в запасе в матче Лиги чемпионов против клуба «Фенербахче», но Больцони впервые сыграл в Лиге чемпионов в следующей игре, 2 октября, против клуба ПСВ Эйндховен; на 70-й минуте он заменил Сантьяго Солари, а в ответной игре с ПСВ Больцони вышел в стартовом составе и провёл на поле все 90 минут. В 2008 году Больцони подписал свой первый профессиональный контракт, рассчитанный до 2012 года. 24 мая 2009 года он дебютировал в Серии А, выйдя на замену вместо Кристиана Киву.
Летом 2009 года Больцони перешёл в клуб «Дженоа», а в августе того же года отправился в аренду в команду Серии Б, «Фрозиноне». Сезон 2010/11 футболист также проводит в аренде, выступая за «Сиену»
22 июня 2011 года клуб «Сиена» приобрёл права на итальянского футболиста.
Больцони играл за сборные Италии различных возрастов, 21 ноября 2007 года впервые сыграл за сборную Италии до 21 года.