Ф.-А.Венсан был сыном швейцарского художника Франсуа-Эли Венсана (1708—1790). Первым его учителем рисования был отец, затем учился у художника Жозеф-Мария Вьена. После окончания обучения Венсан уезжает в Италию где, в 1768 году, завоевал Римскую премию. Вернувшись во Францию, молодой художник совершенствовал своё мастерство во Французской академии в 1771—1775 годах. В 1790 году Венсан стал придворным художником короля Людовика XVI. Через два года он — профессор Королевской академии живописи и скульптуры. В 1795 Венсан стал сооснователем французской Академии изящных искусств. Наряду с такими художниками, как Жак-Луи Давид и Жан-Оноре Фрагонар, Венсан принадлежал к неоклассическому направлению в живописи.
В 1792—1796 годах Венсан жил со своей давней подругой, художницей Аделаида Лабиль-Жиар, в их общем доме близ Парижа в департаменте Сена и Марна. В мае 1793 года Аделаида, после многих лет бюрократических препон, наконец развелась со своим бывшим мужем, финансовым чиновником Николя Жиаром, и в июне 1799 года вышла замуж за Венсана. В старости художник часто болел, и поэтому едва был способен рисовать. Имел учеников, среди которых следует назвать таких, как Пьер-Ноласк Бержере, Шарль Тевени, Шарль-Поль Ландо, Изабель Пинсо, Франсуа-Жозеф Гейм.