Аринзе был одним из ближайших советников покойного папы римского Иоанна Павла II и рассматривался во время Конклава 2005 года в качестве папабиля — одного из основных претендентов на вакантный папский престол.
Свободно говорит на английском, итальянском и испанском языках.
Третий ребёнок из семи детей в семье, придерживавшейся местных языческих верований. Будущий кардинал Аринзе был крещён только в возрасте 9 лет 1 ноября 1941 года отцом Киприаном Майклом Танси, который в 1998 году был причислен к лику блаженных Католической церкви.
В возрасте 15 лет поступил в семинарию Всех Святых в нигерийском городке Нуэви, которую закончил спустя 3 года в 1950 году, после чего остался в ней преподавателем. В 1953 году поступил в семинарию другого нигерийского города Энугу, где изучал философию, а в 1955 году уехал в Рим, где в Папском Урбанианском университете ему преподавалась теология. Там же, в Риме, 23 ноября 1958 года в университетской часовне Аринзе был посвящён в священники кардиналом Григорией-Петром Агаджаняном, про-префектом Священной Конгрегации Пропаганды Веры.
После окончания обучения в университете в 1961 году вернулся на родину, где на протяжении следующих двух лет преподавал литургику, логику и основы философии в семинарии г. Энугу, которую в своё время закончил сам. В 1962 году был назначен региональным секретарём по вопросам католического образования в Западной Нигерии, а в 1963 году уехал в Лондон, где до 1964 года учился в Институте Педагогики.
6 июля 1965 года в возрасте 32 лет стал самым молодым в мире епископом, будучи назначен коадъютором архиепископа Оничи и титулярным епископом Фиссианы. Рукоположен в сан 29 августа 1965 года архиепископом Оничи Чарльзом Хири. А всего менее чем через два года, после смерти Хири, 26 июня 1967 года сам занял архиепископскую кафедру в Ониче.
В 1979 году продвижение Аринзе по служебной лестнице продолжилось: он был избран председателем Епископской конференции Нигерии и занимал этот пост до 1984 года. В 1982 году также стал вице-президентом от Африки Объединённого Библейского общества.
8 апреля 1984 года Папа Иоанн Павел II решает перевести африканского архиепископа на работу в Ватикан и назначает его и.о. председателя Секретариата по делам не-христиан. Архиепископскую кафедру Аринзе оставляет 9 марта 1985 года, и с этого времени вся его дальнейшая карьера связана с Римской курией.
25 мая 1985 года всего в возрасте 52 лет Фрэнсис Аринзе возводится в сан кардинала-дьякона с титулом церкви Сан-Джованни делла Пинья, а спустя два дня 27 мая назначается уже председателем Папского Совета по межрелигиозному диалогу — структуры-наследницы Секретариата по делам не-христиан. Кардинал Аринзе курирует отношения Римско-католической церкви с другими религиями на протяжении более чем 17 лет, до 1 октября 2002 года, когда Иоанн Павел II переводит его на другой важный пост в курии, назначая префектом Конгрегации богослужения и дисциплины таинств.
29 января 1996 года Аринзе становится кардиналом-священником с сохранением титула церкви Сан-Джованни делла Пинья.
Участвовал в Конклаве 2005 года, выбиравшем преемника Иоанна Павла II, где был одним из главных претендентов на папский престол. Новый папа Бенедикт XVI 21 апреля 2005 года подтверждает назначение Аринзе префектом Конгрегации богослужения и дисциплины таинств и в дополнение 25 апреля того же года возводит его в сан кардинала-епископа, высший у кардиналов, с назначением на субурбикарную епархию Веллетри-Сеньи, которую ранее возглавлял сам Бенедикт XVI, будучи ещё кардиналом Ратцингером.
Ещё с тех пор, как он работал в Совете по межрелигиозному диалогу, кардинал Аринзе — один из самых видных ватиканских кардиналов. 8 мая 1994 года он председательствовал на специальной ассамблее Синода епископов по делам Африки, проходившей в соборе Св. Петра. А 24 октября 1999 года Аринзе получил золотую медаль от Международного Совета христиан и евреев за свой выдающийся вклад в межрелигиозные отношения. Кардинал Аринзе много путешествует, став в частности чрезвычайно популярной фигурой среди католиков США. Он также входил в число членов Комитета по празднованию юбилейного 2000 года, тесно сотрудничая со множеством епископов и священников по всему миру в подготовке к празднованию Церковью этой редкой даты.
В настоящее время Фрэнсис Аринзе — один из самых влиятельных кардиналов в Ватикане, примыкает к той группе кардиналов, которые поддерживают нынешнего понтифика. Известен своими консервативными взглядами по многим моральным вопросам.
9 декабря 2008 года папа римский Бенедикт XVI принял отставку кардинала Аринзе с поста префекта Конгрегации Богослужения и Дисциплины Таинств, в связи с достижением предельного возраста.
По некоторым данным, кардинал Аринзе возвратится обратно в Нигерию.