Изучал романскую филологию и музыковедение сперва в Страсбургском университете, затем в Сорбонне (в том числе под руководством Жозефа Бедье). С 1919 г. преподавал во Франкфуртском университете, с 1934 г. профессор.
Геннрих изучал высокую песенную традицию Средневековья — прежде всего, творчество провансальских трубадуров и французских труверов, но также и немецкий миннезанг. Он подготовил ряд научных изданий памятников соответствующей эпохи, в том числе трёхтомное собрание «Рондо, виреле и баллады» (нем. Rondeaux, Virelais und Balladen; 1921, 1927, 1963), «Старофранцузские песни» (нем. Altfranz?sische Lieder; 1953—1956) и др. Важной темой исследований Геннриха было изучение контрафактуры — распространённого в Средние века сочинения нового текста на прежнюю музыку: подробно эта тема освещена в монографиях «Песенная контрафактура в средне-верхне-немецкую и древне-верхне-немецкую эпоху» (нем. Liedkontrafaktur in mittelhochdeutscher und althochdeutscher Zeit; 1948) и «Контрафактура в песенном творчестве Средних веков» (нем. Die Kontrafaktur im Liedschaffen des Mittelalters; 1965).