Родился 7 июля 1923 года в городе Тихорецке Краснодарского края в семье рабочего. Русский. Окончив среднюю школу, работал на местном заводе "Красный молот".
В Красной Армии с февраля 1942 года. Окончил ускоренный курс Ростовского военного артиллерийского училища. Участник Великой Отечественной войны с августа 1942 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
Батарея 238-го гвардейского истребительно-противотанкового артиллерийского полка (10-я отдельная гвардейская истребительно-противотанковая артиллерийская бригада, 1-й Украинский фронт) под командованием гвардии капитана Кузенко Г.А. 27 января 1945 года в бою на плацдарме на левом берегу реки Одер в районе населённого пункта Прейсдорф, в 6-и километрах северо-западнее польского города Ополе, более четырёх часов отражала вражеские атаки. Когда пехота противника вплотную приблизилась к огневым позициям батареи, Г.А. Кузенко сам встал к орудию. Артиллеристы помогли пехоте удержать захваченный плацдарм до подхода подкрепления, нанеся противнику большие потери в живой силе и боевой технике.
После войны отважный офицер-артиллерист продолжал службу в Вооружённых Силах СССР. В 1951 году он окончил Высшую офицерскую артиллерийскую штабную школу. С 1962 года полковник Кузенко Г.А.- в запасе. В 1970 году окончил Киевский торгово-экономический институт, работал старшим инженером Госплана Украинской ССР.
Жил в столице Украины — городе-герое Киеве, а затем - в городе-герое Ленинграде — Санкт-Петербурге. Своё 80-летие в июле 2003 года генерал-майор в отставке Кузенко Г.А. отмечал в родном Тихорецке Краснодарского края, куда прибыл по приглашению администрации и совета ветеранов города. Скончался 30 октября 2007 года, похоронен в Киеве на Совском кладбище.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 апреля 1945 года за умелое командование батареей, образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии капитану Кузенко Геннадию Артёмовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 6693).
Награждён орденом Ленина, орденом Красного Знамени, 2-я орденами Отечественной войны 1-й степени, орденами Отечественной войны 2-й степени, орден Красной Звезды, медалями. Удостоен звания «Почётный гражданин города Тихорецка».