Родился в крестьянской семье в деревне Малое Заречено, входившее тогда в Маракулинскую волость Слободского уезда Вятской губернии. Русский. Отец был мобилизован в армию и погиб в 1916 году на фронте в Первую мировую войну. В семье было пятеро детей. После смерти матери в начале 20-х годов старшие дети сами вели хозяйство, Геннадий начал работать в поле с 9 лет. В 1930 году окончил семилетнюю школу крестьянской молодёжи. В 1933 году окончил Горьковский кооперативный техникум. Работал в городе Вятке заведующим производством отдела общественного питания городского рабочего кооператива.
По собственному желанию призван в Красную Армию в октябре 1935 года. Окончил Орловское бронетанковое училище в 1938 году. В 1938-1939 годах служил на Дальнем Востоке - командир взвода, инструктор огневого дела стрелкового полка, помощник начальника штаба стрелкового полка по разведке.
Окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе в 1941 году, уже после начала Великой Отечественной войны, но на фронт направлен не был. Вместе с академией был эвакуирован в Ташкент и назначен в ней младшим преподавателем тактики.
Направлен на фронт в мае 1942 года заместителем начальника штаба танковой бригады по оперативной работе. В рядах 11-го танкового корпуса участвовал в оборонительных боях на Брянском фронте. Менее чем через месяц после прибытия на фронт возглавил танковую атаку вместо погибшего командира подразделения. Танк был подбит в бою, сам Обатуров тяжело ранен и обгорел в танке. Более трёх месяцев лечился в госпитале в Кемерово.
В ноябре 1942 года назначен заместителем командира танкового полка в составе 11-й армии Северо-Западного фронта. Участвовал в боях против Демянской группировки противника, в том числе в второй Демянской наступательной операции весной 1943 года. Под Демянском был дважды ранен.
После излечения направлен на южный участок советско-германского фронта. С октября 1943 года в должности начальника штаба 13-й гвардейской механизированной бригады воевал на Южном, 3-м Украинском и 2-м Украинском фронтах. Отличился в Мелитопольской наступательной операции (там был ранен в четвёртый раз), в Никопольско-Криворожской операции, в Березнеговато-Снигирёвской операции, в Ясско-Кишинёвской операции.
Осенью 1944 года стал командиром этой бригады, во главе её освобождал Белград, участвовал в Будапештской операции. В конце 1944 года был ранен в пятый раз. Окончил войну в Словакии.
Проявил себя умелым тактическим командиром и лично отважным офицером. За три года участия в боях награждён семью боевыми орденами и медалью «За боевые заслуги».
В 1945 году командовал механизированным полком, затем - отдельным танковым батальоном. С декабря 1945 года по июнь 1950 года - командир 13-го гвардейского механизированного полка. В 1950 году окончил Военную академию Генерального штаба, назначен командиром 33-й гвардейской механизированной дивизии. Эта дивизия входила в состав отдельной механизированной армии и дислоцировалась в румынском городе Тимишоара, недалеко от границы с Венгрией. Генерал-майор танковых войск (1954).
Вскоре после начала Венгерского восстания дивизия генерала Обатурова была поднята по тревоге и получила приказ перейти венгерскую границу, маршем прибыть в Будапешт и взять под охрану основные государственные объекты. К исходу 24 октября 1956 года передовые силы дивизии во главе с Обатуровым вступили в Будапешт. При этом до командира дивизии не была доведена обстановка в городе, в частях дивизии не было ни одной карты города, не были выделены знающие город офицеры. Втянувшиеся в город части были атакованы с разных сторон, разобщены друг от друга и понесли потери. В этих условиях Обатуров самостоятельно принял решение о прекращении выполнения боевой задачи, отдав приказ частям занять круговую оборону. В тяжелых уличных боях он сумел восстановить связь с своими подразделениями. Затем по договоренности с правительством Имре Надя советское командование вывело советские войска из Будапешта, а через несколько дней отдало приказ о штурме города. В этой операции дивизия Обатурова участвовала в полном составе. За время боевых действий дивизия потеряла свыше 150 человек погибшими, безвозвратно уничтожены 13 танков, 1 самоходная артиллерийская установка, 9 бронетранспортёров. Командир дивизии награждён орденом Суворова. В том же году дивизия вошла в состав вновь образованной Южной группы войск.
В 1957 году окончил Высшие академические курсы при Военной академии Генерального штаба. С февраля 1958 года командовал 12-м армейским корпусом Северо-Кавказского военного округа, этот корпус готовился в боевым действиям в горных условиях и дислоцировался в Северо-Осетинской АССР, Кабардино-Балкарской АССР, Чечено-Ингушской АССР.
В мае 1960 года назначен командующим 6-й гвардейской танковой армией в составе войск Киевского военного округа. Генерал-лейтенант танковых войск (1963). С июля 1966 года - заместитель командующего войсками Северо-Кавказского военного округа. С мая 1968 года - заместитель командующего войсками Прикарпатского военного округа. В августе того же года значительная часть воинских частей округа была введена на территорию Чехословакии (см. Операция «Дунай»). За успешное проведение операции награждён орденом Красной Звезды.
С июля 1969 года - временно исполняющий обязанности командующего, а с января 1970 года - командующий войсками Прикарпатского военного округа. Генерал-полковник (1970). С августа 1973 года - первый заместитель Главного инспектора Министерства обороны СССР.
В январе 1979 года Обатуров был направлен во Вьетнам в качестве Главного военного советника при Министерстве Национальной Обороны Социалистическая Республика Вьетнам. Воинское звание генерал армии ему присвоено указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 февраля 1979 года. Вскоре после его прибытия во Вьетнам, китайские войска перешли через северную границу Вьетнама и началась китайско-вьетнамская война. Во главе оперативной группы Обатуров немедленно прибыл в зону боевых действий и по свидетельству участников тех событий, оказал большое влияние на вьетнамское командование и политическое руководство в руководстве боевыми операциями. Сыграл большую роль в том, что китайское наступление было остановлено ещё в приграничных районах с большим уроном для наступавших. К концу марта 1979 года Китай вывел свои войска из всех районов Вьетнама. В последующие годы, кроме помощи в переоснащении и реорганизации Вооружённых сил Вьетнама, занимался созданием Вооружённых сил Лаоса и Кампучии (Камбоджи).
С ноября 1982 года - начальник Военной академии имени М. В. Фрунзе. С 1985 года - военный инспектор-советник Группы Генеральных инспекторов Министерства обороны СССР. С 1992 года - в отставке. Жил в Москве. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Депутат Верховного Совета СССР 8-го созыва (1970-1974). Дважды избирался депутатом Верховного Совета Украины в 1960-х годах. Член ВКП(б) с 1940 года. Был членом Центрального Комитета Коммунистической партии Украины в 1960-1970-х годах.