Родился в семье Марии Ивановны (Долгой) и Якова Софроновича Клевко в деревне Вороничи Пуховичского района Минской области. Учился в Руденской средней школе (окончил в 1950 году), затем на филологическом факультете БГУ (окончил в 1955 году). С 1954 по 1963 работал литературным редактором газеты «Колхозная правда» (белор. «Калгасная праўда»), с 1963 по 1973 — литературным сотрудником и ответственным секретарём в журнале «Вожык», с 1973 по 1979 — заместителем главного редактора литературного журнала «Пламя» (белор. «Полымя»).
Член Союза писателей СССР с 1964 года.
Изданы сборники поэзии на белорусском языке: «Обветренные дали» (1962), «Сто шагов» (1967), «Пристань» (1974), «Плуг» (1978), «Подкова над порогом» (1979, избранное), «Везьмо» (1984), сборник стихов для детей «Первый салют» (1964), сборник юмористичных стихов и миниатюр «Бездельник и кнопки» (1964), «Только бы не сглазить» (1971), «Что правда, то не грех…» (1971) и другие.
Геннадий Клевко занимался стихотворным переводом на белорусский язык писателей народов СССР. Издан сборник южно-осетинской поэзии «Трубит олень» (1975), сборник переводов стихов Косты Хетагурова «Осетинская лира» (1986) и другие.