Родился в семье педагога. В разное время учился в костромской, ярославской, ростовской гимназиях, а в 1918 году окончил гимназию в городе Тула. Работал делопроизводителем в совхозе (с лета 1918 до осени 1921), учителем литературы в школе Алексина (1921/1922 учебный год). В 1922—1925 годах учился на Факультете общественных наук МГУ (литературно-художественное отделение). В 1925—1928 учился в аспирантуре Института языка и литературы РАНИОН, где его научным руководителем был В. Ф. Переверзев.
Параллельно учёбе в 1922—1928 преподавал в средней школе № 64 Краснопресненского района Москвы. С сентября 1928 ассистент, затем доцент этнологического факультета МГУ (литературное отделение). В сентябре 1930 уволен как ученик и последователь Переверзева. По этой же причине был лишён возможности публиковаться с 1929 по 1934. В 1930—1932 преподавал на рабфаке имени М. И. Калинина. В 1932—1934 доцент Редакционно-издательского института. С 1934 года Г. Н. Поспелов был доцентом, с 1938 профессором МИФЛИ. С 1941 зам. зав. кафедрой истории русской литературы. В 1941 МИФЛИ был слит с МГУ, где Поспелов продолжал преподавать в прежней должности, а в 1960 году создал кафедру теории литературы. Г. Н. Поспелов оставил заведование созданной им кафедры в 1977 году.
Г. Н. Поспелов изучал методологию литературоведения и теорию литературы, а также философскую природу искусства. Г. Н. Поспелов был экспертом по истории русской литературы XVIII—XIX вв. Г. Н. Поспелов предложил концепцию искусства как разновидности познавательной и идеологической деятельности. Свою концепцию искусства он обосновал, используя богатый исторический и литературный материал и разработал оригинальную терминологию для описания этой концепции.
Уже после его смерти стало известно, что ему принадлежит фундаментальная публицистическая работа, критиковавшая советскую государственную систему. Эта работа ходила в самиздате и приписывалась академику Е. С. Варге