Рождественский родился в семье дирижёра Николая Аносова и певицы Натальи Петровны Рождественской. Музыкальное образование получил в Музыкальной школе им. Гнесиных у Е. Ф. Гнесиной и в Центральной музыкальной школе по классу фортепиано. В 1949 году поступил в Московскую Консерваторию в класс фортепиано Льва Оборина и оперно-симфонического дирижирования, где профессором был его отец Николай Аносов. В 1954 году Рождественский окончил Консерваторию, в 1957 — аспирантуру.
Дебют Рождественского в качестве дирижёра состоялся уже в 1951 году: в Большом театре под его управлением был исполнен балет Чайковского «Спящая красавица».
Более 50 лет Рождественский руководит различными отечественными и зарубежными музыкальными коллективами, ведёт активную педагогическую и музыкально-просветительскую деятельность. С 1974 года он преподаёт на кафедре оперно-симфонического дирижирования Московской консерватории, с 1976 — профессор, с 2001 — заведующий кафедрой.
Супруга — Постникова, Виктория Валентиновна (р.1944) — пианистка.
Рождественский активно продвигал сочинения современных авторов, музыка которых в то время в СССР практически не исполнялась — Пуленка, Хиндемита, Орфа. Под управлением Рождественского состоялись премьеры в СССР балета Стравинского «Весна священная» и оперы Бриттена «Сон в летнюю ночь». Также дирижёр исполнял произведения Прокофьева и Шостаковича — композиторов практически «опальных», чью музыку исполнять в то время было не принято (хотя строгого запрета на исполнение и не существовало).
Долгое время Рождественский был единственным исполнителем оркестровой музыки Альфреда Шнитке, в частности, в 1974 году в Горьком именно под его управлением состоялась премьера Первой симфонии композитора.
Рождественский много гастролировал. Ещё в 1956 году он руководил оркестром Большого театра на гастролях в Лондоне, а в 1971 ему было доверено дирижировать оркестром Ленинградской филармонии в трёх «Променад-концертах» в Королевском Альберт-холле.
Помимо сочинений современных авторов, Рождественский исполнял и классический оркестровый репертуар, а также возрождал забытые произведения композиторов прошлого, не исполнявшиеся до того в течение многих лет.
Дискография Рождественского включает более 700 дисков и пластинок, записанных с разными оркестрами. Среди записей — произведения Бетховена, Иоганнеса Брамса, Брукнера (все симфонии во всех редакциях), Йозефа Гайдна, Софии Губайдулиной, Александра Глазунова (все симфонии), Антонина Дворжака, Сергея Прокофьева (все симфонии, все балеты), Сибелиуса (все симфонии), Вильгельма Стенхаммара, Вениамина Флейшмана, Чайковского (все симфонии), Альфреда Шнитке, Дмитрия Шостаковича (все симфонии, все сценические произведения).
Рождественский — автор нескольких сочинений, среди которых наиболее известна оратория «Заповедное слово русскому народу» на слова Алексея Ремизова. Его перу также принадлежат несколько книг.
Кроме того, Рождественский в разные годы работал с Берлинским филармоническим оркестром, Королевским оркестром Концертгебау (Амстердам), симфоническими оркестрами Лондона, Чикаго, Кливленда и другими коллективами.