Сын городского казначея Дублина и землевладельца. Закончил Тринити-колледж в Дублине и был принят в ирландскую коллегию адвокатов. Бо?льшую часть жизни прожил в северном Уэльсе и Лондоне.
Сыграл активную роль в принятии 23 мая 1832 года закона Парламента Великобритании об образовании Фестиниогской железнодорожной компании — старейшей частной железнодорожной компании в мире.
Будучи назначенным управляющим директором компании, он сумел привлечь первоначальный капитал в размере &&&&&&&&&&024185.&&&&&024 185 фунтов стерлингов на Дублинской фондовой бирже (в том числе &&&&&&&&&&011905.&&&&&011 905 фунтов стерлингов собственных средств). Управлял компанией на протяжении строительства Фестиниогской железной дороги в северном Уэльсе. В начале эксплуатации дороги сумел убедить владельцев предприятий по добыче сланцев доверить транспортировку сланцев железной дороге.
В 1836 году из-за некоторых разногласий Генри Арчер отошёл от активного управления компанией, но продолжал числиться директором в течение более 20 лет — до 1860 года, когда компания назначила ему пенсию в размере 100 фунтов стерлингов в год.
Г. Арчер изобрёл марочно-перфорационную машину. 1 октября 1847 года он высказал Главному почтмейстеру Великобритании () мысль о способе отделения марок от марочного листа. Получив одобрение своей идеи, Арчер в период 1847—1850 годов провёл ряд экспериментов в этой области.
Вначале для разделения почтовых марок он использовал просечку, вошедшую в историю под названием арчеровской просечки () и запатентовал этот способ в 1848 году. Это была пробная грубая просечка, произведённая Генри Арчером в том году на «Красных пенни» на сконструированной им машине, хотя первые варианты машины были неудачными.
Применение просечки, однако, сопровождалось большими затратами ввиду быстрого износа ножей и плиты основания, что вызвало сомнения в практической целесообразности этого способа разделения марок. Тогда Арчер обратился к идее перфорирования, то есть пробивания между марками отверстий, и выполнил множество экспериментов с величиной отверстий и расстоянием между ними. Пробное грубое зубцевание всё тех же марок «Красных пенни» принесло положительные плоды и стало известно в истории филателии как арчеровская зубцовка. Арчеру удалось не только улучшить систему перфорации, но и запатентовать её в 1850 году и сделать пригодной для изготовления почтовых марок.
В апреле 1851 года новая перфорационная машина успешно прошла испытания, для которых при участии известного гравёра Роберта Эдварда Бранстона (Robert Edward Branston, 1803—1877) были специально изготовлены тестовые марки — эссе с портретом принца-консорта Альберта (). Арчер предложил казначейству Великобритании заключить контракт на печать и перфорирование марок, но получил отказ, несмотря на более низкую стоимость производства согласно его предложению по сравнению с таковой у выпускавшей тогда британские марки фирмы «Перкинс, Бэкон и Ко» (). Тем не менее, в результате возникшей борьбы за правительственный заказ «Перкинс, Бэкон и Ко» была вынуждена снизить свои расценки.
В июне 1853 года Арчер продал перфорационную машину, права на изобретение и патенты министерству финансов Великобритании за 4000 фунтов стерлингов. продал и патент на нее за 4000 фунтов стерлингов. Первые зубцовые марки появились в Великобритании 28 января 1854 года.
Усовершенствованная английским инженером Джеймсом Нэпьером () перфорационная машина нашла широкое применение в полиграфии.
В качестве одной из услуг частной Фестиниогской железной дороги возникла Фестиниогская железнодорожная почта, которая осуществляет срочную доставку писем с использованием собственных конвертов, специальных гашений и дополнительных марок железнодорожной почты. Подобные целые вещи пользуются популярностью у филателистов.