Могер родился и вырос в Саутгемптоне и начал играть в футбол в местном клубе «Форест Свифтс». В 1898 году он перешёл в клуб «Фримантл». В 1899 году Могер был дисквалифицирован на два месяца, так как продолжал играть за любительский клуб «Форест Свифтс», будучи зарегистрированным в профессиональном клубе «Фримантл».
Летом 1900 года Могер перешёл в «Саутгемптон», но большую часть времени своего пребывания в клубе провёл в качестве ученика игрока сборной Англии Джека Робисона, подменяя его в воротах клуба в случае необходимости. Могер был высоким и худощавым вратарём, особенно хорошо играя кулаками на выходах. Из-за того, что Робинсон был первым номером в «Саутгемптоне», Могер провёл лишь 14 матчей в Южной Футбольной лиге за три года пребывания в клубе.
В мае 1903 года Гарри Могер перешёл в «Манчестер Юнайтед». Он выступал в «Юнайтед» до 1912 года, когда он принял решение о завершении карьеры. За свою карьеру в «Юнайтед» Могер провёл 264 матча и выиграл чемпионский титул в сезонах 1908/09 и 1910/11, а также Кубок Англии в 1909 году.
Манчестер Юнайтед