Генрих Габай — участник Великой Отечественной войны, был боевым лётчиком.
В 1951 году окончил Всесоюзный институт кинематографии (режиссёрский факультет, мастерская И. Савченко).
Работал на Одесской киностудии (1950-е годы) и Мосфильме (1960-70-е годы). В 1972 году эмигрирует в США. После его отъезда его фильмы долго не показывают. В конце 1970-х годов снимает фильм о русских эмигрантах в Америке.
Жена Г. С. Габая — Анна Мартинсон, дочь народного артиста РСФСР Сергея Александровича Мартинсона.