Учился у Иоганна Генриха Шмельцера. В 1660-х годах — музыкант на службе у князя-епископа Оломоуцкого. Около 1670 поступил в придворную капеллу Зальцбурга, с 1684 — капельмейстер. Скрипач-виртуоз, что сказалось в его скрипичных сонатах, где встречаются труднейшие пассажи, использована скордатура — изменение обычной настройки струн и т. п.
Наиболее известен сборник его 15 сонат «Розарий» (ок.1676). Автор духовной музыки, инструментальных ансамблей, опер. По-видимому, Бибер является автором 53-голосной «Зальцбургской мессы», которая долгое время приписывалась разным авторам.
Написал 16 мистерий-сонат для скрипки и бассо-континуо (орган, виола да гамба). Часто встречаются символы розы и креста (так как Бибер состоял в ложе «Розы и креста»). 16 сонат — 16 событий из жизни Девы Марии:
1 соната — Благовещение — ре минор. строй соль-ре-ля-ми. 2 соната — Встреча Марии с Елизаветой — ля мажор. строй ля-ми-ля-ми. 3 — Рождество — си минор — си фа# си ре. 4 — Сретение — ре минор — ля ре ля ре. 5 — Обретение в храме — ля мажор — ля ми ля до#.
6 — Моление о чаше — до минор — ля бемоль — ми бемоль- соль-ре. 7 — Бичевание — фа мажор — до фа ля до. 8 — Венчание терновым венцом — до мажор — ре фа си бемоль ре. 9 — Несение креста — ля минор — до ми ля ми. 10 — Распятие — строй соль ре ля ре.
11 — Воскресение — соль ре соль ре. 12 — Вознесение — до мажор — до ми соль до. 13 — Сошествие святого духа — ре минор — ля ми до# ми. 14 — Вознесение Марии — ре мажор — ля ми ля ре. 15 — Коронация Марии на небесах — до мажор — соль до соль ре. 16 — Чакона — соль минор — соль ре ля ми.
Генрих Бибер обладал достаточно тонким чувством юмора, что нашло отражение в его музыке. Например, соната «Репрезентатива» имеет в своем составе такие части: соловей, кукушка, лягушка, петух и наседка, перепел, кошка, марш солдат. В них имитируются звуки, издаваемые этими живыми существами, причем весьма оригинально и смело. Игра на смычковых инструментах иногда ведется за «рабочей» поверхностью струны. Иногда между струнами и грифом на виолончели подкладывается лист бумаги, что придает ей особое звучание, а скрипичная партия является очень сложной и в наши дни, далеко не каждый скрипач возьмется ее играть.