Его отец — известный немецкий врач Германн Квинке (ударение на е). Старший брат — физик Георг Германн Квинке (1834—1924). Учился в Гейдельбергском, Вюрцбургском и Берлинском университетах. В 1863 году в Берлинском университете получил докторскую степень. Среди его учителей были знаменитые врачи и учёные Рудольф Вирхов и Альберт фон Кёлликер (нем. ).
В 1865 году Квинке работает у физиолога Эрнста фон Брюкке (нем. ) в Венском университете. В 1866 году становится ассистентом хирурга Роберта Вильмса (нем. ). Он также был ассистентом по терапии у Фридриха Фрерихса в клинике Шарите до 1870 года.
В 1873 году Квинке становится профессором медицины (терапии) в Бернском университете. Пятью годами позже он переходит в Кильский университет. В 1908 году уходит в отставку со званием почётного профессора.
Квинке первым выполнил чрескожную люмбальную пункцию (1890). И хотя он применял пункцию с диагностической и лечебной целью, его исследования стали основой для создания в будущем метода спинномозговой анестезии.
Квинке первым исследовал спинномозговую жидкость. Он определи её состав, удельный вес, её характеристики при гнойном менингите.
В 1879 году впервые описал гастроэзофагеальный рефлюкс, пептическую язву пищевода и рефлюкс-эзофагит, как самостоятельное заболевание.
В 1882 году предложил пептическую теорию развития язвенной болезни желудка, по которой главной причиной образования язв желудка является соляная кислота и чем больше в желудочном соке кислоты и её концентрация, тем чаще образуются язвы.
В 1882 году Квинке изучил острый ангионевротический отёк кожи, впоследствии названный отёком Квинке.