Плачек родился в еврейской семье в Брно, в Моравии, входившей тогда в состав Австро-Венгерской империи. Его семья владела крупной текстильной фабрикой. В 1918-1924 годах учился в немецкой гимназии, после чего поступил в Венский университет (следует отметить, что три семестра он провел в Карловом университете в Праге). В 1928 году, после окончания обучения, защитил докторскую диссертацию и отправился на стажировку в различных научных центрах Европы: в Утрехтском университете у Хендрика Крамерса (1928—1930), в Лейпцигском университете у Петера Дебая и Вернера Гейзенберга (1930—1931), в Римском университете у Энрико Ферми (1931—1932). В 1932-1938 годах работал в Институте Нильса Бора в Копенгагене, посещая с кратковременными визитами Харьков, Иерусалим, Париж и др.
Поскольку опасность захвата стран, сопредельных с нацистской Германией, постоянная возрастала, в январе 1939 года Плачек перебрался в США. В 1939—1942 годах являлся профессором Корнеллского университета. В 1943—1944 годах возглавлял теоретическую группу, работавшую в лаборатории близ Монреаля в рамках Манхэттенского проекта. В 1945—1946 годах работал в Лос-Аламосской национальной лаборатории. Затем некоторое время сотрудничал в компании «Дженерал Электрик» в Скенектади, пока в 1948 году не получил место в Принстонском институте перспективных исследований.
Умер в Цюрихе во время визита с лекциями в Европу. Родители и сестра Плачека погибли в гитлеровских концлагерях во время Второй мировой войны.
Научные работы Плачека посвящены квантовой теории, молекулярной и ядерной физике. Исследовал молекулярное и комбинационное рассеяние света, создал квантовое описание последнего. Совместно с Львом Ландау получил выражение для отношения интенсивностей рассеяния Мандельштама — Бриллюэна и Рэлея (формула Ландау — Плачека). Развивал идеи молекулярной симметрии и ее приложений в физике.
В Копенгагене совместно с экспериментатором Отто Фришем изучал процессы рассеяния и захвата нейтронов веществом, показал, что вероятность поглощения нейтрона зависит не только от скорости последнего, но и от массы атома вещества. В 1937 году совместно с Гансом Бете сформулировал правила отбора для нейтронных резонансов. В 1939 году совместно с Рудольфом Пайерлсом и Нильсом Бором исследовал механизм ядерных реакций, индуцированных нейтронами, на основе сформулированной ими оптической теоремы и представлений о составном ядре. Принимал участие в подтверждении открытия деления ядер, предложив Отто Фришу схему прямого эксперимента с использованием камеры Вильсона, а также участвовал в обсуждении проблем теории этого явления. Независимо от других исследователей предложил использовать графит для замедления нейтронов.
В последние годы занимался изучением процессов упругого и неупругого рассеяния нейтронов в жидкостях и кристаллах.