Начал военную службу фанен-юнкером в 1906 году, участвовал в Первой мировой войне, с 1915 года — капитан. После поражения — в рейхсвере, с 1926 года — майор, с 1931 года — подполковник и командир кавалерийского полка.
C 1933 года — полковник, с 1936 года — генерал-майор. C 1938 года — генерал-лейтенант и командир 2-й легкой дивизии, с которой участвовал в Польской кампании (1939). 18 октября 1939 года 2-я легкая дивизия была переформирована в 7-ю танковую дивизию.
15 февраля 1940 года сдал командование 7-й танковой дивизией генералу Э. Роммелю и назначен командиром 40-го моторизованного корпуса, с которым участвовал во Французской кампании, стал кавалером Рыцарского креста ордена Железного креста. 1 июня 1940 года получил звание генерала кавалерии (позже именовался генералом танковых войск).
В Балканской кампании 1941 года 40-й корпус в составе 12-й армии участвовал в боях против Югославии.
С августа 1941 года — на советско-германском фронте, участвовал в поражении советских войск в районе Великих Лук, осенью—зимой 1941 года в составе 4-й танковой группы участвовал в наступлении на Москву, затем в оборонительных боях под Москвой.
Летом 1942 года во главе своего 40-го корпуса (теперь он именовался танковым) готовился к наступлению на южном фланге советско-германского фронта, однако в связи с делом майора Райхеля в июне 1942 года был отстранён от командования и отдан под суд военного трибунала. Был приговорён к 5 годам тюремного заключения, однако благодаря заступничеству главнокомандующего группой армий «Юг» генерал-фельдмаршала Ф. фон Бока помилован Гитлером и отчислен в резерв.
Направлен в Северную Африку, 20 сентября 1942 года сменил заболевшего генерал-фельдмаршала Э. Роммеля на посту командующего танковой армией «Африка». 24 октября 1942 года, во время битвы за Эль-Аламейн умер от сердечного приступа. Генерал на полном ходу выпал из машины, атакованной английским самолётом. Тело нашли при поиске раненых. Георг Штумме имел прозвище "Шаровая молния" за резкий, непредсказуемый характер.